Onderwerpen

Hieronder vind je de onderwerpen voor het UniMath-event (2022). Voor sommige onderwerpen is er didactisch materiaal beschikbaar dat verkrijgbaar zijn bij uitgeverij Die Keure. Voor een aantal onderwerpen is er didactisch materiaal in ontwikkeling. Hoe dan ook is deelname aan het volledige programma mogelijk zonder dat men over het materiaal beschikt. Meer informatie over het didactisch materiaal, dat bruikbaar is voor de lessen in het secundair onderwijs, vindt men hier.


Grafen, matrices en clustering van data

Grafen zijn combinatorische structuren. Ze bestaan uit toppen (of knopen) en verbindingen tussen de toppen. Grafen kennen hun oorsprong in het achttiende-eeuwse vraagstuk over de zeven bruggen van Koningsbergen. Leonhard Euler lost dit probleem op een uiterst elegante wijze op door een graaf te associeren met het probleem. De oplossing van Euler illustreert overigens ook prima hoe een abstract concept leidt tot de oplossing van een concreet probleem, en hoe dus abstractie aan de basis ligt van de universele toepasbaarheid van wiskunde. Grafen worden als het ware dagelijks gebruikt. Netwerken, zoals facebook, kunnen gemodelleerd worden met behulp van grafen. Ook google pagerank, het algoritme dat google gebruikt om ons de weg te wijzen op het internet, steunt op zogenaamde random walks op grafen.

Sinds hun introductie zijn grafen ook niet meer weg te denken uit de wiskunde. In deze lessenreeks gaan we eerst aan de slag rond enkele eenvoudig voor te stellen vraagstukken over grafen. Dan leggen we het verband tussen grafen en matrices. Aangezien matrices algebraïsche objecten zijn, objecten waar mee gerekend kan worden, is het niet verwonderlijk dat bepaalde eigenschappen van grafen onderzocht kunnen worden door de algebraïsche eigenschappen van de matrices te onderzoeken. We illustreren dit op een zeer toegankelijke wijze door de eigenwaarden en eigenvectoren van de matrices te gebruiken. Om te vermijden dat specifieke voorkennis nodig is, zullen we aandacht besteden aan de concepten eigenwaarde en eigenvector van een matrix vertrekkend van matrices geassocieerd met grafen.

Tenslotte besteden we uitgebreid aandacht aan de vele interessante toepassingen van de algebraïsche grafentheorie. Deze toepassingen zijn te vinden binnen de wiskunde zelf, hetgeen we illustreren aan de hand van opnieuw zeer toegankelijke vraagstukken over grafen, en ook binnen de data science. Zo bespreken we een algoritme om clustering van data uit te voeren aan de hand van de eigenwaarden en eigenvectoren. De techniek om data te clusteren is tegenwoordig uiterst relevant in artificiële intelligentie. Indien de tijd het toelaat, komen ook andere hedendaagse toepassingen aan bod. Steeds zal blijken dat al deze moderne toepassingen niet ontwikkeld konden worden zonder de fundamentele wiskunde te begrijpen.

Specifieke voorkennis: geen


Gezichtsherkenning met neurale netwerken

Zonder twijfel heb je wel al eens over Artificiële Intelligentie (AI) gehoord. Maar waarvoor worden deze technieken gebruikt, en hoe werken ze precies? In deze les kijken we eens achter de wiskundige schermen van neurale netwerken, één van de oudste maar ook meest gebruikte types van AI-technieken. We bekijken de wiskundige technieken die gebruikt worden om neurale netwerken iets aan te leren en passen dit toe op enkele voorbeelden zoals gezichtsherkenning of het automatisch labelen van foto's.

Specifieke voorkennis: eerste orde afgeleide


Wiskundige aanpak van vage informatie

Imprecieze en onzekere informatie maakt deel uit van ons dagelijks leven. "Hoge temperaturen", "grote schommelingen", "zwakke winstcijfers", "ongeveer twee weken", "relevante documenten", ... het zijn slechts enkele voorbeelden van stukjes informatie die ons een beeld, maar geen precies of zeker beeld van iets geven.

Omdat zulke imprecieze en onzekere informatie zo vaak voorkomt, ook in complexe toepassingen, zijn er heel wat wiskundige modellen ontwikkeld om met dat soort informatie te kunnen "werken". De vaagverzamelingenleer, ontworpen in 1965, is zo'n model. Eenvoudig uitgelegd is het een uitbreiding van de klassieke verzamelingenleer waar een element ofwel wel ofwel niet tot een verzameling behoort, naar een verzamelingenleer waar een element "in een bepaalde mate" tot een verzameling kan behoren. Vandaag de dag is het een zeer uitgebreide theorie met praktische toepassingen in heel wat domeinen.

Specifieke voorkennis: elementaire verzamelingenleer


Fourieranalyse en compressie van geluiden en beelden

We maken in het dagelijks leven gebruik van een aantal technologieën waarachter heel wat wiskunde schuilt. In deze les bekijken we van nabij hoe muziek in een MP3-bestand sterk gecomprimeerd kan worden zonder hoorbaar kwaliteitsverlies. De achterliggende wiskunde bestaat in dit geval in het opsplitsen van een geluidssignaal in een spectrum van verschillende toonhoogten, de zogenaamde Fourier-analyse. Hetzelfde principe wordt gebruikt wanneer foto's gecomprimeerd opgeslagen worden.

Specifieke voorkennis: somformules voor sinus en cosinus, inproduct (of scalair product), loodrechte stand van twee vectoren


Projectieve vlakken en codes

We laten de leerlingen smaken van de moderne projectieve meetkunde, waarin eindigheid centraal staat. We concentreren ons op die eigenschappen die belangrijk zijn voor de zogenaamde codeertheorie. Op die manier kunnen we bijvoorbeeld illustreren hoe een cd werkt, in het bijzonder waarom een niet te erg gekraste cd nog steeds de muziek perfect weergeeft, en een ergere kras dit plots verijdelt. Andere toepassingen die worden aangeraakt zijn bankrekeningnummers, IBSN en ISSN nummers -- de leerlingen leren bijvoorbeeld een bankrekeningnummer terugvinden waarin een cijfer onleesbaar is, of waarin een cijfer foutief is (maar men weet niet welk cijfer!).

Specifieke voorkennis: geen


Google PageRank algoritme

Om ons toe te laten binnen het WWW net die informatie terug te vinden die we willen, maakt elke browser gebruik van een zoekmachine. Zo'n machine rangschikt de pagina's van het internet volgens belang. De meest bekende zoekmachine (we hebben er zelfs een werkwoord van gemaakt) is wellicht Google. De basis van de Google-zoekmachine is een gepatenteerd algoritme dat PageRank heet. Het PageRank algoritme, dat dateert van 1998, is een prachtig voorbeeld waarin de kracht van de wiskunde (en meer bepaald de lineaire algebra) wordt geïllustreerd. In wiskundige termen komt het er op neer dat het internet vertaald wordt in een hele grote matrix, waarvan de eigenvector horend bij eigenwaarde 1 bepaald dient te worden. In de les zullen we geheimen van dit PageRank algoritme blootleggen. De start is de introductie van de begrippen eigenvector en eigenwaarde van een matrix.

Specifieke voorkennis: basiskennis matrices en determinanten, basiskennis complexe getallen

Slides


Voetbal ontmoet statistiek

Statistiek of data-analyse wordt steeds belangrijker in het voetbal. Het wordt onder meer gebruikt om de sterkte van de tegenstanders in te schatten, de uitkomst van wedstrijden of tornooien te voorspellen, gespeelde wedstrijden te evalueren, spelers te scouten, … In deze lezing bespreken we enkele van de basismodellen voor het modelleren van voetbal, het rangschikken van voetbalteams op basis van hun sterkte en het voorspellen van voetbalwedstrijden en tornooien.

Specifieke voorkennis: de exponentiële functie